微积分的13个基本公式
📘 高等数学 · 核心必会
🧮 导数 + 积分 + 微积分基本定理
1常数导数
(C)′ = 0
常数的导数为零 · 基础
2幂函数导数
(xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹
n为实数 · 通用
3指数函数导数
(eˣ)′ = eˣ
自然指数 · 自身
4对数函数导数
(ln x)′ = 1/x
自然对数 · x>0
5正弦函数导数
(sin x)′ = cos x
三角函数 · 周期
6余弦函数导数
(cos x)′ = −sin x
余函数 · 负正弦
7乘积法则
(u·v)′ = u′v + uv′
导数运算 · 乘法
8商法则
(u/v)′ = (u′v−uv′)/v²
v≠0 · 除法
9链式法则
[f(g(x))]′ = f′(g)·g′(x)
复合函数 · 核心
10牛顿-莱布尼茨
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a)
微积分基本定理 · 桥梁
11不定积分·幂
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C
n≠−1 · 反导数
12不定积分·指数
∫ eˣ dx = eˣ + C
自然指数积分 · 自身
13不定积分·三角函数
∫ sin x dx = −cos x + C
正弦积分 · 余弦
📖 公式体系精讲🔹 导数部分 (1-9) 涵盖常数、幂、指数、对数、三角以及四则运算与复合。导数是变化率的度量，在物理、经济中广泛使用。链式法则是复合函数的灵魂，乘积与商法则处理函数组合。
🔸 积分部分 (10-13) 微积分基本定理 (牛顿-莱布尼茨公式) 将定积分与原函数关联，是计算面积、累积量的核心。基本积分表提供常见函数的反导数，搭配换元法可解决大量问题。
掌握这13个公式，便有了微积分运算的基石。建议结合习题与几何意义理解，导数→斜率，积分→面积。
❓ 常见问题与解答为什么幂函数积分中 n ≠ −1 ？
当 n = −1 时，∫ x⁻¹ dx = ln|x| + C，因为幂公式分母为零。这是一个特殊且重要的积分，在微积分中需要单独记忆。
牛顿-莱布尼茨公式的意义是什么？
它建立了定积分与原函数（不定积分）之间的桥梁。只要找到被积函数的原函数，就能通过端点差值精确计算曲边梯形面积，是微积分最深刻的定理之一。
乘积法则和链式法则容易混淆，怎么区分？
乘积法则用于两个函数相乘，如 x²·sin x；链式法则用于复合函数，如 sin(2x)。简记：乘积“各导一次交叉加”，复合“由外到内逐层导”。
如何快速记忆13个基本公式？
理解导数与积分互为逆运算。先掌握导数公式，再对应积分公式。通过对比表格、少量习题即可熟练。核心是“幂、指、对、三角”以及运算法则。
📌 进阶提示：
除了13个基本公式，后续还会学习换元积分、分部积分、泰勒展开等，但所有技巧都建立在这些基础之上。建议每天复习一遍，形成条件反射。